Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點E為BC中點，點F在邊CD上，連接AE、EF，若∠FEC＝2∠BAE，CF＝8，則線段AE的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意連接AF，過點A作AM⊥EF，設∠BAE=α，則∠FEC=2α，根據全等三角形的性質得到DF=MF，同理EM=BE，設DF=a，則CD=8+a，由點E為BC邊上的中點，得到BE=EC=EM=a+4，求得EF=a+4，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：連接AF，過點A作AM⊥EF，如圖所示，

∵∠FEC＝2∠BAE，

設∠BAE＝α，則∠FEC＝2α，

∴∠BEA＝90°﹣α，

∴∠AEM＝90﹣α，

∴∠AEB＝∠AEM，

∵AB⊥BE，AM⊥EM，

∴AB＝AM＝AD，

∵AF＝AF，

∴Rt△AMF≌Rt△ADF（HL），

∴DF＝MF，

同理EM＝BE，

設DF＝a，則CD＝8+a，

點E為BC邊上的中點，

∴BE＝EC＝EM＝a+4，

∴EF＝a+4，

∴（a+4）2+82＝（a+4）2，

解得a＝4（負值舍去），

∴DF＝4，

∴AB＝12，BE＝6，

∴AE＝＝6，

故答案為：6．