Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．

（1）求出二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x2+x+4；(2) （3，0）;(3)N（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN＝n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得MD＝（n+2），構(gòu)建二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可；

（3）分別以A、C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于三個(gè)點(diǎn)，由AC的垂直平分線與x軸交于一個(gè)點(diǎn)，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線表達(dá)式： ；

（2）令y＝0，則 ，

解得x1＝8，x2＝﹣2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

又∵A（0，4），C（8，0），

∴,

∴AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°．

∴AC⊥AB．

∵AC∥MN，

∴MN⊥AB．

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN＝n+2，

∵MN∥AC，

△BMN∽△BAC

∴,

∴,

,

,

∵S△AMN＝AMMN

＝

＝，

當(dāng)n＝3時(shí)，△AMN面積最大是5，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．

（3）由（2）知，AC＝ ，

①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（，0）或（，0）

③作AC的垂直平分線交AC于P，交x軸于N，

∴△AOC∽△NPC．

∴即 ．

∴CN＝5．

∴此時(shí)N的坐標(biāo)為（3，0），

綜上，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（，0）、（3，0）、（，0）．