Question

【題目】已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（ ）
A.1+tan∠ADB=
B.2BC=5CF
C.∠AEB+22°=∠DEF
D.4cos∠AGB=

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖，連接CE，設EF與BD相交于點O，
由軸對稱性得，AB=AE，設為1，
則BE= = ，
∵點E與點F關于BD對稱，
∴DE=BF=BE= ，
∴AD=1+ ，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故A正確；
CF=BF﹣BC= ﹣1，
∴2BC=2×1=2，
5CF=5（ ﹣1），
∴2BC≠5CF，故B錯誤；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE= =67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C錯誤；
由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（ ）2﹣（ ）2= ，
∴OE= ，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB= = = ，4cos∠AGB=2 ，故D錯誤．
故選：A．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解軸對稱的性質的相關知識，掌握關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．