Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，動點P從點C出發，沿射線CB方向以每秒2個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點O出發，沿x軸正半軸方向以每秒1個單位長度的速度運動，設點P、點Q的運動時間為t（s）．

（1）當t＝1 s時，求經過點O，P，A三點的拋物線的解析式；

（2）當線段PQ與線段AB相交于點M，且BM＝2AM時，求t（s）的值；

（3）連接CQ，當點P，Q在運動過程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝3；（3）．

【解析】試題分析：（1）可求得P點坐標，由O、P、A的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）用t可表示出BP和AQ的長，由可得到關于t的方程，可求得t的值；
（3）當點Q在線段OA上時， ；當點Q在線段OA上，且點P在線段CB的延長線上時，由相似三角形的性質可用t表示出AM的長，由S=S四邊形BCQM=S矩形OABC-S△COQ-S△AMQ，可求得S與t的關系式；當點Q在OA的延長線上時，設CQ交AB于點M，利用可用t表示出AM，從而可表示出BM， ，可求得答案．

試題解析：（1）依題意得，A（4 ，0），B（4，3）．

當t＝1 s時，CP＝2，

設經過O、P、A三點拋物線的解析式為y＝ax（x－4），將P（2，3）代入解析式中，則有

2×（2－4）a＝3，

【一題多解】依題意得，A（4，0），B（4，3）．

當t＝1 s時，CP＝2，∴P（2，3）．

設經過O、P、A三點拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，將O，P，A三點代入得

解得：

∴拋物線的解析式為

（2）如解圖①，設線段PQ與線段BA相交于點M，依題意有：CP＝2t，OQ＝t，

∴BP＝2t－4，AQ＝4－t．

∵CB∥OA，

∴△BMP∽△AMQ，

∴BP＝2AQ，即2t－4＝2（4－t），∴t＝3；

（3） 當0≤t≤2時，如解圖②，

當2＜t≤4，如解圖③，設線段AB與線段PQ相交于點D，過點Q作QN⊥CP于點N，則△BDP∽△NQP，

又∵NQ＝CO＝3，BP＝CP－CB＝2t－4，且NP＝CP－CN＝CP－OQ＝2t－t＝t，

∴S＝S四邊形CQDB＝S△CQP－S△BDP，

③圖④

當t＞4時，如解圖④，設線段AB與線段CQ相交于點M，過點Q作QN⊥CP于點N，則△CBM∽△CNQ，

又∵CB＝OA＝4，CN＝OQ＝t，NQ＝3，

∴S=.