Question

【題目】請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問(wèn)題．

（1）如圖1，將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)D重合，角尺的一邊交CB于點(diǎn)F，將另一邊交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：EF=EG．

（2）如圖2，移動(dòng)角尺，使角尺的頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，其余條件不變，請(qǐng)你思考后直接回答EF和EG的數(shù)量關(guān)系：EF　 　EG（用“=”或“≠”填空）

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)，完成下題：如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（即點(diǎn)G、A重合），其余條件不變，若AB=4，BC=3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）=；（3）.

【解析】試題分析：（1）證明△EAG≌△ECF即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由（1）同理證出△EMG≌△ENF得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由（2）得出經(jīng)驗(yàn)，證得結(jié)論則需要通過(guò)由平行線得出比例式和兩三角形相似得出比例式來(lái)解決．

試題解析：（1）證明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，

∴∠AEG=∠CEF，

又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，

∴△EAG≌△ECF（ASA）

∴EG=EF

（2）EF=EG；

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖2所示，

則∠MEN=90°，EM=EN，

∴∠GEM=∠FEN，

又因?yàn)椤?/span>EMG=∠ENF=90°，

∴△EMG≌△ENF

∴EF=EG．

故答案為：=．

（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，如圖3所示：

則∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，

∴，

∴，

又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，

∴∠FEN=∠GEM，

∴Rt△GME∽Rt△FNE，

∴.