Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2mx+4m﹣8,

（1）當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．

（2）以拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

（3）若拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）m≥2；（2）△AMN是邊長為2 的正三角形，S△AMN=3，與m無關；（3）m=2．

【解析】試題分析：（1）求出二次函數的對稱軸x=m，由于拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可以求出m的取值范圍．

（2）在拋物線內作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，得到△AMN的面積是m無關的定值．

（3）當y=0時，求出拋物線與x軸的兩個交點的坐標，然后確定整數m的值．

試題解析：（1）二次函數y=x2-2mx+4m-8的對稱軸是：x=m．

∵當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，

而x≤2應在對稱軸的左邊，

∴m≥2．

（2）如圖：頂點A的坐標為（m，-m2+4m-8）

△AMN是拋物線的內接正三角形，

MN交對稱軸于點B，tan∠AMB=tan60°=，

則AB=BM=BN，

設BM=BN=a，則AB=a，

∴點M的坐標為（m+a， a-m2+4m-8），

∵點M在拋物線上，

∴a-m2+4m-8=（m+a）2-2m（m+a）+4m-8，

整理得：a2-a=0

得：a=（a=0舍去）

所以△AMN是邊長為2的正三角形，

S△AMN=×2×3=3，與m無關；

（3）當y=0時，x2-2mx+4m-8=0，

解得：，

∵拋物線y=x2-2mx+4m-8與x軸交點的橫坐標均為整數，

∴（m-2）2+4應是完全平方數，

∴m的最小值為：m=2．

考點: 二次函數綜合題.