Question

閱讀材料并解答問題：
與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內切圓，…，與正n邊形各邊都相切的圓叫做正n邊形的內切圓，設正n（n≥3）邊形的面積為S_正n邊形，其內切圓的半徑為r，試探索正n邊形的面積．（結果可用三角函數表示）
如圖①，當n=3時，設AB切圓O于點C，連接OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴∠AOC=

1

2

AOB，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

1

2

•

360°

3

=60°，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴S△OAB=

1

2

•r•2rtan60°=r2tan60°，∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60°．
（1）如圖②，當n=4時，仿照（1）中的方法和過程可求得：S_正四邊形=

 

；
（2）如圖③，當n=5時，仿照（1）中的方法和過程求S_正五邊形；
（3）如圖④，根據以上探索過程，請直接寫出S_正n邊形=

 

．

Answer 1

分析：（1）同求正三邊的面積的方法一樣先計算出中心角∠AOB=90°，在Rt△AOC中，用r表示出AC，然后表示出△OAB的面積，利用S_正四邊形=4S_△AOB計算即可；
（2）同（1）一樣，只是中心角=

360°

5

=72°，得到∠AOC=36°；
（2）同（1）一樣，只是中心角=

360°

n

，得到∠AOC=

180°

n

．

解答：解：（1）4r²•tan45°；

（2）如圖，當n=5時，設AB切⊙O于點C，連接OA，OC，OB，如圖，
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=

1

2

∠AOB，AB=2AC，
在Rt△AOC中，∵∠AOC=

1

2

•

360°

5

=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=

1

2

•2r•tan36°•r=r²•tan36°，
∴S_正五邊形=5S_△OAB=5r²•tan36°；

（3）nr²•tan

180°

n

．

點評：本題考查了正多邊形的內切圓的性質：圓心到各邊的距離相等，都等于圓的半徑；也考查了解直角三角形和三角形的面積公式以及正多邊形的性質．