Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．

（1）試求A，B，C的坐標；

（2）將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD．3

①求點D的坐標；

②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；

（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；(2)①D（3，﹣2）；②四邊形ADBC是矩形；理由見解析，(3) 點P的坐標為：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．

【解析】

試題分析：（1）直接利用y=0，x=0分別得出A，B，C的坐標；

（2）①利用旋轉的性質結合三角形各邊長得出D點坐標；

②利用平行四邊形的判定方法結合勾股定理的逆定理得出四邊形ADBC的形狀；

（3）直接利用相似三角形的判定與性質結合三角形各邊長進而得出答案．

試題解析：（1）當y=0時，0=﹣x2+x+2，

解得：x1=﹣1，x2=4，

則A（﹣1，0），B（4，0），

當x=0時，y=2，

故C（0，2）；

（2）①過點D作DE⊥x軸于點E，

∵將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD，

∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，

∴D（3，﹣2）；

②∵將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD，

∴AC=BD，AD=BC，

∴四邊形ADBC是平行四邊形，

∵AC=，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形ADBC是矩形；

（3）由題意可得：BD=，AD=2，

則，

當△BMP∽△ADB時，

，

可得：BM=2.5，

則PM=1.25，

故P（1.5，1.25），

當△BMP1∽△ABD時，

P1（1.5，﹣1.25），

當△BMP2∽△BDA時，

可得：P2（1.5，5），

當△BMP3∽△BDA時，

可得：P3（1.5，﹣5），

綜上所述：點P的坐標為：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．