Question

（1）已知：如圖1，在△ABC中，D、F分別是AB、CA上的兩個(gè)定點(diǎn)，在BC上找一點(diǎn)E，使△DEF的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)作出相應(yīng)圖形并寫(xiě)出作法；
（2）已知：如圖2，在△ABC中，若在上一題的條件改為D是AB上一定點(diǎn)，在BC、CA、上分別找一點(diǎn)E、F使△DEF的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)作出相應(yīng)圖形并寫(xiě)出作法；
（3）已知：如圖3，在△ABC中，是否存在D、E、F分別在AB、BC、CA，且△DEF的周長(zhǎng)最小？若存在請(qǐng)作出相應(yīng)圖形并寫(xiě)出作法；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，然后連接D′F交BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)；
（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D″，然后連接D′D″交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)E、F即為所求作的點(diǎn)；
（3）先過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，再作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E″，連接E′E″交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，順次連接即可得到所求作的△DEF．

解答：解：（1）如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′連接D′F交BC于E，則△DEF為所求；

（2）如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于BC、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′、D″，連接D′D″交BC、AC于E、F，則△DEF為所求；


（3）如圖3，過(guò)A作AE⊥BC，過(guò)點(diǎn)E分別作AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′、E″連接E′E″交AB、AC于D、E，則△DEF為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，其理論依據(jù)是三角形的兩邊之和大于第三邊，作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．