Question

【題目】如圖，已知直徑與等邊△ABC的高相等的圓O分別與邊AB、BC相切于點D、E，邊AC過圓心O與圓O相交于點F、G．

（1）求證：DE∥AC；

（2）若△ABC的邊長為a，求△ECG的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由△ABC是等邊三角形可知∠B、∠C的度數，又因AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，可知BD=BE，故可以證明兩直線平行．

（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點H，由題意知條件可求出AO=OC，由圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG，進而求出CG，EH，

有三角形面積公式求出數值．

試題解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，∠C=60°；

∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，

∴BD=BE，

∴∠BDE=60°，∠A=60°，

∴DE∥AC．

（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點H．

∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，O是圓心，

∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．

∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=a．

∵圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG=a，

∴CG=OC+OG=a+a，

∵EH⊥OC，∠C=60°，

∴∠COE=30°，EH=a；

∵S△ECG=CGEH=（a+a）a，

∴S△ECG＝a2+a2＝.