Question

（2009•平谷區一模）如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數的圖象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）求m、k兩個未知字母，把A、B兩點代入反比例函數即可；
（2）按圖中所給情況，M、N有可能都在坐標軸的正半軸，也有可能在坐標軸的負半軸，平移應找到對應點，看是如何平移得到．求出直線MN的函數表達式，需求出A，B兩點的坐標．
解答：解：（1）由題意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得m=3，（2分）
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=4×3=12；（3分）

（2）存在兩種情況，如圖：
①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，設M₁點坐標為（x₁，0），
N₁點坐標為（0，y₁），
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到的，
（也可看作向下平移2個單位，再向左平移3個單位得到的）
由（1）知A點坐標為（3，4），B點坐標為（6，2），
∴N₁點坐標為（0，4-2），即N₁（0，2），
M₁點坐標為（6-3，0），即M₁（3，0），（4分）
設直線M₁N₁的函數表達式為y=k₁x+2，
把x=3，y=0代入，解得，
∴直線M₁N₁的函數表達式為；（5分）
②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，
設M₂點坐標為（x₂，0），N₂點坐標為（0，y₂），
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂，
∴四邊形N₁M₂N₂M₁為平行四邊形，
∴點M₁、M₂與線段N₁、N₂關于原點O成中心對稱，
∴M₂點坐標為（-3，0），N₂點坐標為（0，-2），（6分）
設直線M₂N₂的函數表達式為y=k₂x-2，
把x=-3，y=0代入，解得，
∴直線M₂N₂的函數表達式為．
所以，直線MN的函數表達式為或．（7分）
點評：過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式．平行四邊形從動態來看也可以是由一條線段平移得到的．