Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A＝80°，點P是射線AM上動點（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D．

（1）求∠CBD的度數；

（2）當點P運動時，那么∠APB：∠ADB的度數比值是否隨之發生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規律；

（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）不變，∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∠ABC＝25°．

【解析】

（1）由平行線的性質可求得∠ABN，再根據角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；

（2）由平行線的性質可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分線的定義可求得結論；

（3）由平行線的性質可得到∠ACB＝∠CBN，結合條件可得∠DBN＝∠ABC，再根據∠CBD＝50°，可求得∠ABC的度數．

解：（1）∵AM∥BN，∠A＝80°，

∴∠ABN+∠A＝180°，

∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，

∴∠ABP+∠PBN＝100°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，

∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；

（2）不變，∠APB：∠ADB＝2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB＝2：1；

（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB＝∠CBN，

當∠ACB＝∠ABD時，則有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN，

由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，

∴∠ABC+∠DBN＝50°，

∴∠ABC＝25°．