Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側，點B的坐標為（1，0）、C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．

（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？如存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣3（2）（3）P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）

【解析】

(1)把點B（1，0）、C（0，﹣3）標代入拋物線y=ax2+3ax+c求出a,c的值即可;

(2)過點D作DE∥y軸交AC于E,利用待定系數法求出直線AC的解析式,故可得出DE=﹣（m+2）2+3，,再由當m=﹣2時，DE有最大值為3，此時，S△ACD有最大值，從而可求出結論；

(3) ①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1,過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1 ,此時四邊形ACP1E1為平行四邊形,根據PC兩點的縱坐標相等可得出P點坐標;②平移直線AC交x軸于點E,交x軸上方的拋物線于點P,當AC=PE時,四邊形ACEP為平行四邊形,令P（x，3），由x2+ x﹣3=3，得出x的值即可得出P點坐標.

（1）解：將點B、C的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得：a= ，c=﹣3．

∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3.

（2）解：令y=0，則 x2+ x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0）、B（1，0）.

令x=0，則y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴S△ABC= ×5×3= .

設D（m， m2+ m﹣3），

過點D作DE∥y軸交AC于E．直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3，則E（m，﹣ m﹣3），

DE=﹣ m﹣3﹣（ m2+ m﹣3）=﹣ （m+2）2+3，

當m=﹣2時，DE有最大值為3，

此時，S△ACD有最大值為 ×DE×4=2DE=6.

∴四邊形ABCD的面積的最大值為6+ = ，

（3）解：如圖所示：

①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1 ， 過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1 ， 此時四邊形ACP1E1為平行四邊形，

∵C（0，﹣3），

∴設P1（x，﹣3），

∴ x2+ x﹣3=﹣3，

解得x1=0，x2=﹣3，

∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣3），

∴設P（x，3），

∴ x2+ x﹣3=3，

解得x= 或x= ，

∴P2（ ，3）或P3（ ，3），

綜上所述存在3個點符合題意，坐標分別是P1（﹣3，﹣3）或P2（ ，3）或P3（ ，3）.