Question

【題目】如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（﹣2，0），點P是線段CB上的動點，設CP=t（0＜t＜10）．

（1）請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式；

（2）過點P作PE⊥BC，交拋物線于點E，連接BE，當t為何值時，∠PBE和Rt△OCD中的一個角相等？

（3）點Q是x軸上的動點，過點P作PM∥BQ，交CQ于點M，作PN∥CQ，交BQ于點N，當四邊形PMQN為正方形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=3；（3）或

【解析】試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點坐標，由矩形的性質可求得B點坐標，由B、D的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可設P（t，4），則可表示出E點坐標，從而可表示出PB、PE的長，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；

（3）當四邊形PMQN為正方形時，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質可求得CQ的長，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關于t的方程，可求得t的值．

試題解析：

解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，

∴C（0，4），

∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐標代入拋物線解析式可得，

解得，

∴拋物線解析式為y＝x2＋x＋4；

（2）由題意可設P（t，4），則E（t， t2＋t＋4），

∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，

∵∠BPE＝∠COD＝90°，

當∠PBE＝∠OCD時，

則△PBE∽△OCD，

∴，即BPOD＝COPE，

∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合題意，舍去），

∴當t＝3時，∠PBE＝∠OCD；

當∠PBE＝∠CDO時，

則△PBE∽△ODC，

∴，即BPOC＝DOPE，

∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合題意，舍去）

綜上所述∴當t＝3時，∠PBE＝∠OCD；

（3）當四邊形PMQN為正方形時，則∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，

∴∠CQO＋∠AQB＝90°，

∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，

∴∠OCQ＝∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴，即OQAQ＝COAB，

設OQ＝m，則AQ＝10﹣m，

∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，

①當m＝2時，CQ＝＝，BQ＝＝，

∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，

∴PM＝PCsin∠PCQ＝t，PN＝PBsin∠CBQ＝（10﹣t），

∴t ＝（10﹣t），解得t＝，

②當m＝8時，同理可求得t＝，

∴當四邊形PMQN為正方形時，t的值為或．