Question

【題目】如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A出發，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止，點Q從A與P同時出發，沿邊AD勻速運動到D終止，設點P運動的時間為t（s）．△APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數關系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．

（1）求點Q運動的速度；

（2）求圖2中線段FG的函數關系式；

（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）由1（cm/s）

（2）FG段的函數表達式為：（6≤t≤9）。

（3）存在。理由見解析。

【解析】

（1）根據函數圖象中E點所代表的實際意義求解．E點表示點P運動到與點B重合時的情形，運動時間為3s，可得AB=6cm；再由，可求得AQ的長度，進而得到點Q的運動速度。

（2）函數圖象中線段FG，表示點Q運動至終點D之后停止運動，而點P在線段CD上繼續運動的情形．如答圖2所示，求出S的表達式，并確定t的取值范圍。

（3）當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示，求出t的值。當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示，求出t的值。

解：（1）由題意，可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形，所用時間為3s，則菱形的邊長AB=2×3=6cm。

此時如圖1所示，

AQ邊上的高，

，解得AQ=3（cm）。

∴點Q的運動速度為：3÷3=1（cm/s）。

（2）由題意，可知題圖2中FG段表示點P在線段CD上運動時的情形，如圖2所示，

點Q運動至點D所需時間為：6÷1=6s，點P運動至點C所需時間為12÷2=6s，至終點D所需時間為18÷2=9s。

因此在FG段內，點Q運動至點D停止運動，點P在線段CD上繼續運動，且時間t的取值范圍為：6≤t≤9。

過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，則

。

∴FG段的函數表達式為：（6≤t≤9）。

（3）存在。

菱形ABCD的面積為：6×6×sin60°=18。

當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如圖3所示，

此時△APQ的面積。

根據題意，得，解得s。

當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖4所示，

此時，有，

即，解得s。

綜上所述，存在s和t=s，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分。