Question

【題目】將一個正方形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，，點．動點在邊上，點在邊上，沿折疊該紙片，使點的對應點始終落在邊上（點不與重合），點落在點處，與交于點．

（Ⅰ）如圖①，當時，求點的坐標；

（Ⅱ）如圖②，當點落在的中點時，求點的坐標；

（Ⅲ）隨著點在邊上位置的變化，的周長是否發生變化？如變化，簡述理由；如不變，直接寫出其值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不變，的周長為8．

【解析】

（Ⅰ）根據含30°直角三角形的性質以及勾股定理，在Rt△AEM中運用勾股定理列出方程即可解答；

（Ⅱ）由題意可得AM=MC=2，設AE=a，則OE=EM=4-a，在Rt△AEM中，利用勾股定理列出方程即可解答；

（Ⅲ）如圖，連接OM，OP，過點O作OQ⊥MP于點Q，由折疊的性質及平行線的性質得到∠MOB=∠OMP，進而證明△AMO≌△QMO（AAS），得到AM=QM，AO=QO，再證明Rt△QOP≌Rt△BOP（HL），得到QP=BP，將△MPC的周長進行轉化即可得到AC+BC=8即可．

解：（Ⅰ）當時，

∵四邊形AOBC是正方形，

∴∠OAC=90°，

∴AM=，

由折疊可知，OE=EM，

設AM=x，則EM=OE=2x，

∵，

∴OA=4，

∴AE=4-2x，

在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，

即，解得：，（舍去）

∴OE=2x=，

∴；

（Ⅱ）∵AC=4，

∴當點落在的中點時，AM=MC=2，

設AE=a，則OE=EM=4-a，

則在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，

即，解得：，

∴OE=，

∴；

（Ⅲ）不變，的周長為8，

如圖，連接OM，OP，過點O作OQ⊥MP于點Q，

由折疊可知，∠EMP=∠AOB=90°，OE=EM，

∴∠EOM=∠EMO，

∴90°-∠EOM=90°-∠EMO，即∠MOB=∠OMP，

又∵正方形AOBC中，AC∥OB，

∴∠AMO=∠MOB，

∴∠AMO=∠OMP，

在△AMO與△QMO中，

∠OAM=∠OQM=90°，∠AMO=∠OMQ，OM=OM，

∴△AMO≌△QMO（AAS），

∴AM=QM，AO=QO，

又∵AO=BO，

∴QO=BO，

∴在Rt△QOP與Rt△BOP中，

OP=OP，QO=BO，

∴Rt△QOP≌Rt△BOP（HL），

∴QP=BP，

∴的周長=MC+PC+MP

=MC+PC+MQ+QP

=MC+AM+PC+BP

=AC+BC

=8

∴隨著點在邊上位置的變化，的周長不變，周長為8．