Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，連接BC．
（Ⅰ）如圖①，若∠P=20°，求∠BCO的度數；
（Ⅱ）如圖②，過A作弦AD⊥OP于E，連接DC，若OE= CD，求∠P的度數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖1中，

∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，∵∠P=20°，

∴∠AOC=90°﹣20°=70°，

∴∠B= ∠AOC=35°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB=35°，

∴∠BCO=35°．

（Ⅱ）如圖2中，連接BD、OD．

∵AD⊥OP于E，

∴AE=ED， = ，

∵AE=ED，OA=OB，

∴OE= DB，

∵OE= CD，

∴CD=DB，

∴ = ，

∴ = = ，

∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，

∵PA是⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∴∠P=30°

【解析】（1）可利用切線的性質得出垂直，再利用等邊對等角的性質求出答案；（2）可利用直徑的性質須連接BD，構成90度的圓周角，再利用垂徑定理及其推論可求出∠P=30°.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．