Question

【題目】如圖1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延長線相交于點O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．將△ABC繞點O逆時針旋轉α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．

（1）當α＝30°時，求點C′到直線OF的距離．

（2）在圖1中，取A′B′的中點P，連結C′P，如圖2．

①當C′P與矩形DEFG的一條邊平行時，求點C′到直線DE的距離．

②當線段A′P與矩形DEFG的邊有且只有一個交點時，求該交點到直線DG的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點C′到直線OF的距離為2；（2）①點C′到直線DE的距離為2+2；②2≤d≤﹣2或d＝3．

【解析】

（1）過點C′作C′H⊥OF于H．根據直角三角形的邊角關系，解直角三角形求出CH即可．

（2）①分兩種情形：當C′P∥OF時，過點C′作C′M⊥OF于M；當C′P∥DG時，過點C′作C′N⊥FG于N．通過解直角三角形，分別求出C′M，C′N即可．

②設d為所求的距離．第一種情形：當點A′落在DE上時，連接OA′，延長ED交OC于M．當點P落在DE上時，連接OP，過點P作PQ⊥C′B′于Q．結合圖象可得結論．

第二種情形：當A′P與FG相交，不與EF相交時，當點A′在FG上時，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2；當點P落在EF上時，設OF交A′B′于Q，過點P作PT⊥B′C′于T，過點P作PR∥OQ交OB′于R，連接OP．求出QG可得結論．

第三種情形：當A′P經過點F時，此時顯然d＝3．綜上所述即可得結論．

解：（1）如圖，

過點C′作C′H⊥OF于H．

∵△A′B′C′是由△ABC繞點O逆時針旋轉得到，

∴C′O=CO=4，

在Rt△HC′中，

∵∠HC′O＝α＝30°，

∴C′H＝C′Ocos30°＝2，

∴點C′到直線OF的距離為2．

（2）①如圖，當C′P∥OF時，過點C′作C′M⊥OF于M．

∵△A′B′C′為等腰直角三角形，P為A′B′的中點，

∴∠A′C′P=45°，

∵∠A′B′O=90°，

∴∠OC′P=135°.

∵C′P∥OF，

∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，

∴△OC′M是等腰直角三角形，

∵OC′＝4，

∴C′M＝C′Ocos45°=4×=，

∴點C′到直線DE的距離為．

如圖，當C′P∥DG時，過點C′作C′N⊥FG于N．

同法可證△OC′N是等腰直角三角形，

∴C′N＝，

∵GD=2，

∴點C′到直線DE的距離為．

②設d為所求的距離．

第一種情形：如圖，當點A′落在DE上時，連接OA′，延長ED交OC于M．

∵OC=4，AC=2，∠ACO=90°，

∵OM＝2，∠OMA′＝90°，

∴A′M＝＝＝4，

又∵OG=2，

∴DM=2，

∴A′D＝A′M-DM=4-2=2，

即d＝2，

如圖，當點P落在DE上時，連接OP，過點P作PQ⊥C′B′于Q．

∵P為A′B′的中點，∠A′C′B′=90°，

∴PQ∥A′C′，

∴

∵B′C′=2

∴PQ＝1，CQ=1，

∴Q點為B′C′的中點，也是旋轉前BC的中點，

∴OQ=OC+CQ=5

∴OP＝＝，

∴PM＝，

∴PD＝，

∴d＝﹣2，

∴2≤d≤﹣2．

第二種情形：當A′P與FG相交，不與EF相交時，當點A′在FG上時，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2，

如圖，當點P落在EF上時，設OF交A′B′于Q，過點P作PT⊥B′C′于T，過點P作PR∥OQ交OB′于R，連接OP．

由上可知OP＝，OF＝5，

∴FP＝＝＝1，

∵OF＝OT，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，

∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），

∴∠FOP＝∠TOP，

∵PQ∥OQ，

∴∠OPR＝∠POF，

∴∠OPR＝∠POR，

∴OR＝PR，

∵PT2+TR2＝PR2，

∴PR＝2.6，RT＝2.4，

∵△B′PR∽△B′QO，

∴＝，

∴＝，

∴OQ＝，

∴QG＝OQ﹣OG＝，即d＝

∴2﹣2≤d＜，

第三種情形：當A′P經過點F時，如圖，

此時FG=3，即d＝3．

綜上所述，2≤d≤﹣2或d＝3．