Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點D是直線BC上的一個動點，連接AD，并以AD為邊在AD的右側作等邊△ADE．

（1）如圖①，當點E恰好在線段BC上時，請判斷線段DE和BE的數量關系，并結合圖①證明你的結論；
（2）當點E不在直線BC上時，連接BE，其它條件不變，（1）中結論是否成立？若成立，請結合圖②給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論；
（3）若AC=3，點D在直線BC上移動的過程中，是否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長度；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：DE=BE．理由如下：

∵△ADE為等邊三角形，

∴AD=DE=AE，∠AED=60°．

∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，

∴∠EAB=60°﹣30°=30°，

∴∠ABC=∠EAB，

∴EB=AE，

∴EB=DE；

（2）

解：如圖，

過點E作EF⊥AB，垂足為F，

在△ABC中，∠ABC=30°，

∴∠CAB=60°，

∴∠DAE=∠CAB，

∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，

則∠CAD=∠EAF．

又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，

∴△ADC≌△AEF，

∴AC=AF．

在△ABC中，∠ABC=30°，

∴AC= AB，

∴AF=BF，

∴EA=EB，

∴DE=EB；

（3）

解：如圖，

∵四邊形ACDE是梯形，∠ACD=90°，

∴∠CAE=90°．

∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，

又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，

∴∠CAD=30°．

在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，

由勾股定理可得CD= ．

同理可得：若點D與點B重合，AC平行DE，此時CD=3 ，

綜上所述：若AE∥CD，CD= ；若點D與點B重合，此時CD=3

【解析】（1）利用等邊三角形的性質以及等腰三角形的判定解答即可；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，證得△ADC≌△AEF，結合直角三角形中30度的角所對的直角邊是斜邊的一半解決問題；（3）從A、C、D、E為頂點的梯形的性質入手，逐步找出解決問題的方案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．