Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，．P為線段上的一動點，且和B、C不重合，連接，過點P作交射線于點E．

聰聰根據學習函數的經驗，對這個問題進行了研究：

（1）通過推理，他發現，請你幫他完成證明．

（2）利用幾何畫板，他改變的長度，運動點P，得到不同位置時，、的長度的對應值：

當時，得表1：

	…	1	2	3	4	5	…
	…	0.83	1.33	1.50	1.33	0.83	…

當時，得表2：

	…	1	2	3	4	5	6	7	…
	…	1.17	2.00	2.50	2.67	2.50	2.00	1.17	…

這說明，點P在線段上運動時，要保證點E總在線段上，的長度應有一定的限制．

①填空：根據函數的定義，我們可以確定，在和的長度這兩個變量中，_____的長度為自變量，_____的長度為因變量；

②設，當點P在線段上運動時，點E總在線段上，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤

【解析】

（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因為∠B＝∠C＝90°，即可證得相似；

（2）①由題意可得隨著P點的變化，CE的長度在變化，即可判斷自變量和因變量；

②設BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，由△ABP∽△PCE，利用對應邊成比例求出y與x的函數關系式，利用二次函數性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；

解：（1）證明：∵，

∴∠APE＝90°，

∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，

∴∠APB＝∠CEP，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABP∽△PCE；

（2）①由題意可得隨著P點的變化，CE的長度在變化，所以BP的長度為自變量，CE的長度為因變量；

故答案為：BP，CE；

②設BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，

∵△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y＝

＝，

∴當x＝時，y取得最大值，最大值為，

∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，

∴≤2，

解得m≤，

∴m的取值范圍為：0＜m≤．