Question

【題目】如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線．

（1）利用尺規作出AC的垂直平分線（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）設AC的垂直平分線分別與AB，AC，CD交于點E，O，F，求證：以A、E、C、F為頂點的四邊形為菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用基本作圖作AC的垂直平分線；

（2）連接AF、CE，如圖，利用線段垂直平分線的性質得OA=OC，再利用平行線的性質得∠ACF=∠CAB，則可證明△AOE≌△COF得到OE=OF，然后根據菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形．

（1）解：如圖，EF為所作；

（2）證明：連接AF、CE，如圖，

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CF，

∴∠ACF＝∠CAB，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

即AC與EF互相垂直平分，

∴四邊形AECF為菱形．