Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在原點左側，點B在原點右側），且∠ACB=90°，tan∠BAC= ． ①求拋物線的解析式；
②若拋物線頂點為P，求四邊形APCB的面積．

Answer 1

【答案】解：①令x=0則y=﹣ x2+bx+c=c， ∴C（0，c），
∵tan∠BAC= ，
∴A（﹣2c，0），
∠ACB=90°，
∴∠BCO=∠BAC，
∴OB= OC= c，
∴B（ c，0），
把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c得， ，
解得： ，
求拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ；
②y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+ ）2+ ，
∴P（﹣ ， ），
令﹣ x2﹣ x+ =0，解得：x1=﹣1，x2= ，
∴A（﹣1，0），B（ ，0）
連接AP，PC，CB，PO，則四邊形APCB的面積=S△AOP+S△POC+S△COB= ×1× + × × + × × =
【解析】①由y=﹣ x2+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC= ，可設A（﹣2c，0），B（ c，0），把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c求得b，c，即可求得求拋物線的解析式； ②解方程﹣ x2﹣ x+ =0可求得A，B點的坐標，由于四邊形APCB的面積=S△AOP+S△POC+S△COB ， 根據三角形的面積公式即可求得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法))的相關知識才是答題的關鍵．