Question

（2013•鄂州）在平面直角坐標系中，已知M₁（3，2），N₁（5，-1），線段M₁N₁平移至線段MN處（注：M₁與M，N₁與N分別為對應點）．
（1）若M（-2，5），請直接寫出N點坐標．
（2）在（1）問的條件下，點N在拋物線y=

1

6

x2+

2 3

3

x+k上，求該拋物線對應的函數解析式．
（3）在（2）問條件下，若拋物線頂點為B，與y軸交于點A，點E為線段AB中點，點C（0，m）是y軸負半軸上一動點，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：

3

，求m的值．
（4）在（3）問條件下，動點P從B點出發，沿x軸正方向勻速運動，點P運動到什么位置時（即BP長為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時的△ABP面積的

1

4

，求此時BP的長度．

Answer 1

分析：（1）首先根據點M的移動方向和單位得到點N的平移方向和單位，然后按照平移方向和單位進行移動即可；
（2）將點N的坐標代入函數的解析式即可求得k值；
（3）配方后確定點B、A、E的坐標，根據CO：OF=2：

3

用m表示出線段CO、FO和BF的長，利用S_△BEC=S_△EBF+S_△BFC=

1

2

S△ABC得到有關m的方程求得m的值即可；
（4）分當∠BPE＞∠APE時、當∠BPE=∠APE時、當∠BPE＜∠APE時三種情況分類討論即可．

解答：解：（1）由于圖形平移過程中，對應點的平移規律相同，
由點M到點M′可知，點的橫坐標減5，縱坐標加3，
故點N′的坐標為（5-5，-1+3），即（0，2）．
N（0，2）；

（2）∵N（0，2）在拋物線y=

1

6

x²+

2

3

3

x+k上
∴k=2
∴拋物線的解析式為y=

1

6

x²+

2

3

3

x+2     

（3）∵y=

1

6

x²+

2

3

3

x+2=

1

6

（x+2

3

）²
∴B（-2

3

，0）、A（0，2）、E（-

3

，1）
∵CO：OF=2：

3

∴CO=-m，FO=-

3

2

m，BF=2

3

+

3

2

m
∵S_△BEC=S_△EBF+S_△BFC=

1

2

S△ABC
∴

1

2

（2

3

+

3

2

m）（-m+1）=

1

2

×

1

2

×2

3

(2-m)
整理得：m²+m=0
∴m=-1或0                        
∵m＜0
∴m=-1                   

（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO=

AO

BO

=

2

2 3

=

3

3

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①當∠BPE＞∠APE時，連接A₁B則對折后如圖2，A₁為對折后A的所落點，△EHP是重疊部分．
∵E為AB中點，∴S_△AEP=S_△BEP=

1

2

S_△ABP
∵S_△EHP=

1

4

S_△ABP
∴S△A1HE=S_△EHP=S_△BHP=

1

4

S_△ABP
∴A₁H=HP，EH=HB=1
∴四邊形A₁BPE為平行四邊形
∴BP=A₁E=AE=2
即BP=2                                                     
②當∠BPE=∠APE時，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意；
③當∠BPE＜∠APE時．
則對折后如圖3，A₁為對折后A的所落點．△EHP是重疊部分
∵E為AB中點，
∴S_△AEP=S_△BEP=

1

2

S_△ABP
∵S_△EHP=

1

4

S_△ABP∴S_△EBH=S_△EHP=S△A1HP₌

1

4

S_△ABP
∴BH=HP，EH=HA₁=1
又∵BE=EA=2
∴EH

∥

.

1

2

AP，
∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP=2

3

，
綜合①②③知：BP=2或2

3

；

點評：此題主要考查了點的平移、二次函數解析式的確定，圖形折疊問題及圖形面積等重要知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．