Question

（A題）某市經濟開發區建有B、C、D三個食品加工廠，這三個工廠和開發區A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米．自來水公司已經修好一條自來水主管道AN，BC兩廠之間的公路與自來水管道交于E處，EC=500米．若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負擔，每米造價800元．
（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應怎樣設計并在圖形中畫出；
（2）求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價各是多少元？

（B題）如圖，已知平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l，四個頂點A、B、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d．
（1）觀察圖形，猜想得出a、b、c、d滿足怎樣的關系式？證明你的結論．
（2）現將l向上平移，你得到的結論還一定成立嗎？請分情況寫出你的結論．

Answer 1

（A題）解：（1）過B、C、D分別作AN的垂線段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即為所求的造價最低的管道路線．
圖形如圖所示．

（2）（法一）BE=BC-CE=1700-500=1200（米），
AE==1500（米），
∵△ABE∽△CFE，
得到：．
∴CF===300（米）．
∵△BHE∽△CFE，
得到，
∴BH===720（米）．
∵△ABE∽△DGA，
∴，
∴DG===1020（米）．
所以，B、C、D三廠所建自來水管道的最低造價分別是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）
法二（設∠AEB=∂，利用三角函數可求得BH、CF、DG的長）


（B題）（1）a+c=b+d．
證明：連接AC、BD，且AC、BD相交于點O，OO₁為點O到l的距離，
∴OO₁為直角梯形BB₁D₁D的中位線，
∴2OO₁=DD₁+BB₁=b+d；
同理：2OO₁=AA₁+CC₁=a+c．
∴a+c=b+d

（2）不一定成立
分別有以下情況：
直線l過A點時，c=b+d；
直線l過A點與B點之間時，c-a=b+d；
直線l過B點時，c-a=d；
直線l過B點與D點之間時，a-c=b-d；
直線l過D點時，a-c=b；
直線l過C點與D點之間時，a-c=b+d；
直線l過C點時，a=b+d；
直線l過C點上方時，a+c=b+d．

分析：A：（1）根據“垂線段最短”即可畫出使修建自來水管道的造價最低時，這三個工廠的自來水管道路線；
（2）根據勾股定理和直角三角形的面積公式求得BH的長，根據相似三角形的對應邊的比相等分別求得CF，DG的長，再根據每米造價800元求得價錢．
B：（1）此題可以連接平行四邊形的對角線，交點是O．作OO₁⊥l于O₁．根據梯形的中位線定理得到2OO₁=DD₁+BB₁=b+d=AA₁+CC₁=a+c．
（2）將l向上平移，分別有直線l過B點時；直線l過B點與D點之間時；直線l過D點時；直線l過C點與D點之間時；直線l過C點時；直線l過C點上方時．結合三角形的中位線定理和梯形的中位線定理進行分析．
點評：A中，考查了垂線段最短的性質以及運用勾股定理、直角三角形的面積和相似三角形的性質進行計算的方法；
B中，主要是運用了梯形的中位線定理和三角形的中位線定理．