Question

【題目】已知AB∥CD,∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F.

(1)如圖1,若∠E=80°,求∠BFD的度數.

(2)如圖2,若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,試寫出∠M與∠E之間的數量關系并證明你的結論.

(3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠E=m°,請直接用含有n,m°的代數式表示出∠M.

Answer 1

【答案】（1）∠BFD=140°；（2）6∠M+∠E=360°；（3）.

【解析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行線的性質可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=140°，從而得到∠BFD的度數；

（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換，即可；

（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，將∠E=m°代入可得∠M=．

解：(1)作EG∥AB,FH∥AB,因為AB∥CD,

所以EG∥AB∥FH∥CD.

所以∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°.

因為∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,

所以∠ABE+∠CDE=280°.

因為∠ABE和∠CDE的角平分線相交于點F,

所以∠ABF+∠CDF=140°,

所以∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°.

(2)因為∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,所以∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,因為∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F,

所以∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,

所以6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°.

因為∠M=∠ABM+∠CDM,

所以6∠M+∠E=360°.

(3)由(2)結論可得,

2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°,∠M=∠ABM+∠CDM,

解得∠M=.