Question

【題目】已知：△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上(點E不與點A、B重合)，點F在邊AC上，聯結DE、DF．

（1）如圖1，當∠EDF=90°時，求證：BE=AF；

（2）如圖2，當∠EDF=45°時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）連接AD，證△BDE≌△ADF（ASA），即可得出結論；

（2）證明△BDE∽△CFD．得出，得出，由BD＝CD，即可得出結論．

（1）連接AD，如圖1所示：

在Rt△ABC中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°．

∵點D是邊BC的中點，

∴ADBC=BD，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠B=∠CAD．

∵∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°

∵∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(ASA)，

∴BE=AF；

（2）∵∠BDF=∠BDE+∠EDF，∠BDF=∠C+∠CFD，

∴∠BDE+∠EDF=∠C+∠CFD．

又∵∠C=∠EDF=45°，

∴∠BDE=∠CFD，

∴△BDE∽△CFD，

∴，

∴，

又∵BD=CD，

∴．