Question

【題目】閱讀材料并解答問題：

關于勾股定理的研究有一個很重要的內容是勾股數組，在數學課本中我們已經了解到，“能夠成為直角三角形三條邊的三個正整數稱為勾股數”，以下是畢達哥拉斯等學派研究出的確定勾股數組的兩種方法：

方法1：若m為奇數（m≥3），則a=m，b=（m2﹣1）和c=（m2+1）是勾股數．

方法2：若任取兩個正整數m和n（m＞n），則a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股數．

（1）在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形；

（2）某園林管理處要在一塊綠地上植樹，使之構成如下圖所示的圖案景觀，該圖案由四個全等的直角三角形組成，要求每個三角形頂點處都植一棵樹，各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，且每個三角形的各邊長之比為5：12：13，那么這四個直角三角形的邊長共需植樹　 　棵．

（3）某家俱市場現有大批如圖所示的梯形邊角余料(單位：cm)，實驗初中數學興趣小組決定將其加工成等腰三角形，且方案如下：

三角形中至少有一邊長為10 cm；三角形中至少有一邊上的高為8 cm，

請設計出三種面積不同的方案并在圖上畫出分割線，求出相應圖形面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）120；

（3）畫分割線見解析，面積分別為48 cm、40cm和 cm的等腰三角形.

【解析】試題分析：（1）先比較三邊的大小，確定為斜邊的是c，再求a2+b2=[（m2+1）]2=c2；

（2）由各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，可得三角形最短邊為5米，又有各邊長之比為5：12：13，可得其他兩邊分別為12、13米．則每個三角形的邊長可植樹5+12+13=30棵，四個直角三角形的邊長共需植樹120棵．

（3）由圖形可知，要求有又一邊為10cm，可以將其作為三角形的一斜邊，將另一邊的邊長截為10cm．利用勾股定理和三角形求面積公式，即可求出．

【解答】解：（1）方法1、c-a=（m2+1）-m=（m2-2m+1）=（m-1）2＞0，c-b=1＞0，

所以c＞a，c＞b．而a2+b2=m2+[（m2-1）]2=（m4-2m2+1）+m2

=（m4+2m2+1）=[（m2+1）]2=c2，

所以以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

（2）∵各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，

∴三角形最短邊為5米，

又∵各邊長之比為5：12：13，

∴其他兩邊分別為12、13米．

∴每個三角形的邊長可植樹5+12+13=30棵，

∴四個直角三角形的邊長共需植樹120棵．

（3）

解：由勾股定理得：AB=則

如圖（1）AD=AB=10 cm時，BD=6 cm，S==48 cm；

如圖（2）BD=AB=10 cm時，S==40cm；

如圖（3）線段AB的垂直平分線交BC延長線于點D，則AB=10，設DC=x，則AD=BD=6+x,

在Rt△ACD中，S==；

答：面積分別為48 cm、40cm和 cm的等腰三角形