Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣x2+mx+n的圖象經過點A（2，3），與x軸的正半軸交于點G（1+，0）；一次函數y=kx+b的圖象經過點A，且交x軸于點P，交拋物線于另一點B，又知點A，B位于點P的同側．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）若PA=3PB，求一次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，當k＞0時，拋物線的對稱軸上是否存在點C，使⊙C同時與x軸和直線AP都相切？如果存在，請求出點C的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或； （3）存在這樣的點或（1，﹣5﹣10），使得同時與軸和直線都相切．

【解析】分析：（1）根據拋物線的對稱軸為x=1可求出m的值，再將點A的坐標代入拋物線的解析式中求出n值，此題得解；

（2）根據P、A、B三點共線以及PA=3PB結合點A的坐標即可得出點B的縱坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出點B的坐標，再根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AP的解析式；

（3）假設存在，設出點C的坐標，依照題意畫出圖形，根據角的計算找出∠DCF=∠EPF，再通過解直角三角形找出關于r的一元一次方程，解方程求出r值，將其代入點C的坐標中即可得出結論．

詳解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，∴﹣=1，解得：m=．

將點A（2，3）代入y=﹣x2+x+n中，3=﹣1+1+n，解得：n=3，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+3．

（2）∵P、A、B三點共線，PA=3PB，且點A、B位于點P的同側，∴yA﹣yP=3（yB﹣yP）．

又∵點P為x軸上的點，點A（2，3），∴yB=1．

當y=1時，有﹣x2+x+3=1，解得：x1=﹣2，x2=4，∴點B的坐標為（﹣2，1）或（4，1）．

將點A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中得，解得：，∴一次函數的解析式y=x+2；

將點A（2，3）、B（4，1）代入y=kx+b中，解得：，∴一次函數的解析式y=﹣x+5．

綜上所述：當PA：PB=3：1時，一次函數的解析式為y=x+2或y=﹣x+5．

（3）假設存在，設點C的坐標為（1，r）．

∵k＞0，∴直線AP的解析式為y=x+2．

當y=0時，x+2=0，解得：x=﹣4，∴點P的坐標為（﹣4，0），當x=1時，y=，∴點D的坐標為（1，）．

令⊙與直線AP的切點為F，與x軸的切點為E，拋物線的對稱軸與直線AP的交點為D，連接CF，如圖所示．

∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，∴∠DCF=∠EPF．

在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF=，CD=﹣r，∴CD=CF=|r|=﹣r，解得：r=5﹣10或r=﹣5﹣10．

故當k＞0時，拋物線的對稱軸上存在點C，使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切，點C的坐標為（1，5﹣10）或（1，﹣5﹣10）．