Question

【題目】已知I是△ABC的內心，AI延長線交△ABC外接圓于D，連BD．

（1）在圖1中，求證：DB=DI；
（2）如圖2，若AB為直徑，且OI⊥AD于I點，DE切圓于D點，求sin∠ADE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BI，

∵I是△ABC的內心，

∴AD平分∠CAB，BI平分∠ABC，

∴∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠CBI，

∵∠CAD=∠DBC，

∴∠DAB=∠CBD，

∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，

∠DIB=∠DAB+∠IBA，

∴∠DIB=∠DBI，

∴BD=DI；

（2）解：連接BD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∵OI⊥AD，

∴AD=2DI，

∵BD=DI，

∴AD=2BD，

∴AB= = BD，

∵DE切圓于D點，

∴∠ABD=∠ADE，

∴sin∠ADE=sin∠ABD= = ．

【解析】（1）連接BI，依據三角形的內心的定義可得到AD平分∠CAB，BI平分∠ABC，根據角平分線的定義得到∠CAD=∠BAD，∠ABI=∠CBI，得到結合圓周角定理可得到∠DAB=∠CBD，然后再依據三角形的外角的性質得到∠DIB=∠DBI，最后，依據等角對等邊的性質可得到BD=DI；
（2）連接BD，根據圓周角定理的推理可得到∠ADB=90°，然后再依據垂徑定理得到AD=2DI，接下來，利用勾股定理求得AB的長，，根據弦切角定理得到∠ABD=∠ADE，接下來，依據銳角三角函數的定義求解即可.
【考點精析】利用圓周角定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．