Question

【題目】如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D、E是BC上的兩點，且BD＝CE，過D、E作DM、EN分別垂直AB、AC，垂足為M、N，交與點F，連接AD、AE．其中①四邊形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③CE2+BD2＝DE2；④當∠DAE＝45°時，AD2＝DECD．正確結論有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由三個角是直角的四邊形是矩形，先判定四邊形AMFN是矩形，再證明AM＝AN，從而可判斷①；利用SAS可判定△ABE≌△ACD，從而可判斷②；在沒有∠DAE＝45°時，無法證得DE′＝DE，故可判斷③；由∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA可判定△ADE∽△CDA，從而可判定④．

解：∵DM、EN分別垂直AB、AC，垂足為M、N，

∴∠AMF＝∠ANF＝90°，

又∵∠BAC＝90°，

∴四邊形AMFN是矩形；

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝45°，

∵DM⊥AB，EN⊥AC，

∴△BDM和△CEN均為等腰直角三角形，

又∵BD＝CE，

∴△BDM≌△CEN（AAS），

∴BM＝CN

∴AM＝AN，

∴四邊形AMFN是正方形，故①正確；

∵BD＝CE，

∴BE＝CD，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ABC＝∠C＝45°，AB＝AC，

∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正確；

如圖所示，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABE′，則CE＝BE′，∠E′BA＝∠C＝45°，

由于△BDM≌△CEN，故點N落在點M處，連接ME′，則D、M、E′共線，

∵∠E′BA＝45°，∠ABC＝45°，

∴∠DBE′＝90°，

∴BE′2+BD2＝DE′2，

∴CE2+BD2＝DE′2，

當∠DAE＝45°時，∠DAE′＝∠DAM+∠EAN＝90°﹣45°＝45°，

AE＝AE′，AD＝AD，

∴△ADE≌△ADE′（SAS），

∴DE′＝DE，

∴在沒有∠DAE＝45°時，無法證得DE′＝DE，故③錯誤；

∵AB＝AC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，

∴當∠DAE＝45°時，∠ADE＝∠AED＝67.5°，

∵∠C＝45°，

∴∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA，

∴△ADE∽△CDA，

∴＝，

∴AD2＝DECD，故④正確．

綜上，正確的有①②④，共3個．

故選：C．