Question

【題目】如圖①,△ABC是正三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點作一個60°角，角兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點，連接MN.

(1)探究：線段BM，MN，NC之間的關系，并加以證明。

(2)若點M是AB的延長線上的一點，N是CA的延長線上的點，其它條件不變，請你再探線段BM，MN，NC之間的關系，在圖②中畫出圖形，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）MN=BM+NC.理由見解析；（2）MN=NCBM，圖見解析，理由見解析；

【解析】

（1）延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，構造全等三角形，找到相等的線段，MD=DE，再進一步證明△DMN≌△DEN，進而得到MN=BM+NC．

（2）按要求作出圖形，先證△BMD≌△CED，再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結論．

(1)MN=BM+NC.理由如下：

延長AC至E,使得CE=BM(或延長AB至E,使得BE=CN)，并連接DE.

∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，

∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°，

又BD=DC,且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD與△ECD中，

∵ ，

∴△MBD≌△ECD(SAS)，

∴MD=DE，

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=BM+NC.

(2)按要求作出圖形,(1)中結論不成立，應為MN=NCBM.

在CA上截取CE=BM.

∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD,∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠CBD=30°,

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵ ，

∴△BMD≌△CED(SAS)，

∴DE=DM，

在△MDN和△EDN中

∵，

∴△MDN≌△EDN(SAS)，

∴MN=NE=NCCE=NCBM.