Question

【題目】在矩形ABCD中，點F在AD延長線上，且DF＝DC，M為AB邊上一點，N為MD的中點，點E在直線CF上，且BN＝NE．

（1）如圖1，若AB＝BC＝6，BM＝AB，E為線段FC上的點，試求NE的長；

（2）如圖2，若AB＜BC，E為線段FC延長線上的點，連結BE，求證：BE＝NE．

Answer 1

【答案】（1）NE＝5；（2）證明見解析

【解析】

（1）延長BN交CD的延長線于點G，連接BE、GE，過E作EH⊥CE，由AAS證明△BMN≌△GDN，得出BM＝DG，BN＝GN，由勾股定理求出BG，即可得出答案；
（2）延長BN交CD的延長線于點G，連接GE，GE交AD于點Q，過E作EH⊥CE，交DC的延長線于點H，由AAS證得△BMN≌△GDN，得出BN＝NG＝NE，則△BEG是直角三角形，∠BEG＝90°，再由ASA證得△ECB≌△EHG得出EB＝EG，證得△BNE是等腰直角三角形，即可得出結論．

（1）解：延長BN交CD的延長線于點G，連接BE、GE，過E作EH⊥CE，交CD于點H．

∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC＝6，

∴∠BCD＝90°，AB∥CG，四邊形ABCD是正方形，

∴∠MBN＝∠DGN，CD＝BC＝6，

∵N為MD的中點，

∴MN＝DN．在△BMN和△GDN中， ，

∴△BMN≌△GDN（AAS）．

∴BM＝DG，BN＝GN．

∵BM＝AB＝2，

∴DG＝2，

∴CG＝CD+DG＝8，

在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝10，

∴BN＝BG＝5，

∵BN＝NE，

∴NE＝5；

（2）證明：延長BN交CD的延長線于點G，連接GE，GE交AD于點Q，過E作EH⊥CE，交DC的延長線于點H，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CG，

∴∠MBN＝∠DGN，∠BMN＝∠GDN，

∵N為MD的中點，

∴MN＝DN，

在△BMN和△GDN中，，

∴△BMN≌△GDN（AAS），

∴BN＝NG＝NE，

∴△BEG是直角三角形，∠BEG＝90°，

∵EH⊥CE，

∴∠CEH＝90°．

∴∠BEG＝∠CEH，

∴∠BEC＝∠GEH，

∵DF＝DC，∠CDF＝90°，

∴∠DCF＝45°，

∴∠CHE＝∠HCE＝45°，

∴EC＝EH，

∵∠ECB＝∠HCB﹣∠HCE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ECB＝∠EHG，在△ECB和△EHG中，，

∴△ECB≌△EHG（ASA），

∴EB＝EG，

∵BN＝NG，

∴BN⊥NE，

∴△BNE是等腰直角三角形，

∴BE＝NE．