Question

【題目】(1)、問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°．求證：AD·BC=AP·BP．

(2)、探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．

(3)、應用：請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．點P以每秒1個單位長度的速度，由點A 出發，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A．設點P的運動時間為t（秒），當DC的長與△ABD底邊上的高相等時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論成立. (3)、t=1秒或5秒.

【解析】試題（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；

（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；

（3）過點D作DE⊥AB于點E，根據等腰三角形的性質可得AE=BE=6，根據勾股定理可得DE=8，由題可得DC=DE=8，則有BC=10-8=2．易證∠DPC=∠A=∠B．根據ADBC=APBP，就可求出t的值．

試題解析：（1）如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴ADBC=APBP；

（2）結論ADBC=APBP仍成立；

證明：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，

又∵∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴ADBC=APBP；

（3）如下圖，過點D作DE⊥AB于點E，

∵AD=BD=10，AB=12，

∴AE=BE=6

∴DE==8，

∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10-8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，

由（1）（2）的經驗得ADBC=APBP，

又∵AP=t，BP=12-t，

∴t（12-t）=10×2，

∴t=2或t=10，

∴t的值為2秒或10秒．