Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2﹣ x+c經過原點O與點A（6，0）兩點，過點A作AC⊥x軸，交直線y=2x﹣2于點C，且直線y=2x﹣2與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式，并求出點C和點D的坐標；
（2）求點A關于直線y=2x﹣2的對稱點A′的坐標，并判斷點A′是否在拋物線上，并說明理由；
（3）點P（x，y）是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點Q，設線段PQ的長為l，求l與x的函數關系式及l的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣ x+c，得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x．

當x=6時，y=2×6﹣2=10，

當y=0時，2x﹣2=0，解得x=1，

∴點C坐標（6，10），點D的坐標（1，0）

（2）

解：過點A′作AF⊥x軸于點F，

∵點D（1，0），A（6，0），可得AD=5，

在Rt△ACD中，CD= =5 ，

∵點A與點A′關于直線y=2x﹣2對稱，

∴∠AED=90°，

∴S△ADC= ×5 AE= ×5×10，

解得AE=2 ，

∴AA′=2AE=4 ，DE= = ，

∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，

∴△ADE∽△AA′F，

∴ = = ，

解得AF=4，A′F=8，

∴OF=8﹣6=2，

∴點A′坐標為（﹣2，4），

當x=﹣2時，y= ×4﹣ ×（﹣2）=4，

∴A′在拋物線上

（3）

解：∵點P在拋物線上，則點P（x， x2﹣ x），

設直線A′C的解析式為y=kx+b，

∵直線A經過A′（﹣2，4），C（6，10）兩點，

∴ ，解得 ，

∴直線A′C的解析式為y= x+ ，

∵點Q在直線A′C上，PQ∥AC，點Q的坐標為（x， x+ ），

∵PQ∥AC，又點Q在點P上方，

∴l=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x）=﹣ x2+ x+ ，

∴l與x的函數關系式為l=﹣ x2+ x+ ，（﹣2＜x≤6），

∵l=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，l的最大值為 ．

【解析】（1）把O、A代入拋物線解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐標，根據A、C兩點橫坐標相等，即可求出點C坐標．（2）過點A′作AF⊥x軸于點F，求出A′F、FO即可解決問題．（3）設點P（x， x2﹣ x），先求出直線A′C的解析式，再構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．本題考查二次函數的綜合題、待定系數法，最值問題等知識，解題的關鍵是靈活掌握二次函數的性質，學會構建二次函數解決問題最值問題，屬于中考壓軸題．
【考點精析】掌握二次函數的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．