Question

【題目】如圖所示，正比例函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 在第一象限的圖象交于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 軸的垂線，垂足為 ，已知△OAM的面積為1.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn) 為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn) 與點(diǎn) 不重合），且點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為1，在 軸上求一點(diǎn) ，使 最小.

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ），

則 .∴ .

∵ ,∴ .∴ .

∴反比例函數(shù)的解析式為

（2）解： 由 得 或 ∴A為 .

設(shè)A點(diǎn)關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

如要在 軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.則P點(diǎn)應(yīng)為BC和x軸的交點(diǎn)，如圖所示.

令直線BC的解析式為 .

∵B為（1，2），∴ ∴

∴BC的解析式為 .

當(dāng) 時(shí)， .∴P點(diǎn)坐標(biāo)為 .

【解析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，由已知△OAM的面積為1，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a ， b ），得出 a b = 1，即可求出k（k＞0）的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式。
（2）此題是在 x 軸上求一點(diǎn) P ，使 P A + P B 最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，先作出A點(diǎn)關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接BC交x軸于點(diǎn)P，可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直線BC的函數(shù)解析式，根據(jù)y=0，求出對(duì)應(yīng)的自變量的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．