Question

【題目】已知，如圖，△ABC中，∠C＝90°，E為BC邊中點．

（1）尺規作圖：以AC為直徑，作⊙O，交AB于點D（保留作圖痕跡，不需寫作法）．

（2）連結DE，求證：DE為⊙O的切線；

（3）若AC＝5，DE＝，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）根據要求作圖即可得；

（2）連結OD，CD，證DE＝EC＝BE得∠1＝∠2，再證∠3＝∠4得∠ODE＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝∠ACB＝90°，據此可得OD⊥DE，從而得證；

（3）證Rt△BDC∽Rt△BCA得＝，代入計算可得．

解：（1）如圖1，

（2）證明：如圖2，連結OD，CD，

∵AC為直徑，

∴∠ADC＝90°，

∵E為BC邊中點，

∴DE為Rt△BDC斜邊BC上的中線，

∴DE＝EC＝BE，

∴∠1＝∠2，

∵OC＝OD，

∴∠3＝∠4，

∴∠ODE＝∠2+∠4＝∠1+∠3＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（3）∵E為BC邊中點，

∴BC＝2DE＝，

∵AC＝5，

∴AB＝，

∵∠DBC＝∠CBA，

∴Rt△BDC∽Rt△BCA，

∴＝，即＝，

∴BD＝．