Question

【題目】如圖，∠C=90°，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC交于點D，與邊AC交于點E，連接AD，且AD平分∠BAC.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若∠BAC=60°,OA=1,求陰影部分的面積(結果保留π).

Answer 1

【答案】(1)BC與O相切，理由見解析；(2) 陰影部分的面積為.

【解析】

（1）連接OD，推出OD⊥BC，根據切線的判定推出即可；

（2）連接DE、OE，求出陰影部分的面積=扇形EOD的面積，求出扇形的面積即可．

(1)BC與O相切，

理由：連接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AO=DO，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠ACD=90，

∴OD⊥BC，

∴BC與O相切；

(2)連接OE，ED，

∵∠BAC=60，OE=OA，

∴△OAE為等邊三角形，

∴∠AOE=60，

∴∠ADE=30，

又∵∠OAD=∠BAC=30，

∴∠ADE=∠OAD，

∴ED∥AO，

是菱形

∴OE⊥AD,且AM=DM,EM=OM

∴S△AED=S△AOD，

∴陰影部分的面積=S扇形ODE=.