Question

【題目】四邊形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．

（1）如圖1，若∠B=∠C，試求出∠C的度數；

（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，試求出∠C的度數；

（3）①如圖3，若∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，試求出∠BEC的度數．

②在①的條件下，若延長BA、CD交于點F（如圖4），將原來條件“∠A=145°，∠D=75°”改為“∠F=40°”，其他條件不變，∠BEC的度數會發生變化嗎？若不變，請說明理由；若變化，求出∠BEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠C=70°；（2）∠C=70°；（3）①∠BEC=110°；②不變．∠BEC=110°．

【解析】

（1）先根據四邊形內角和等于360°求出∠B+∠C的度數，再除以2即可求解；
（2）先根據平行線的性質得到∠ABE的度數，再根據角平分線的定義得到∠ABC的度數，再根據四邊形內角和等于360°求出∠BEC的度數；
（3）①先根據四邊形內角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度數，再根據角平分線的定義得到∠EBC+∠ECB的度數，再根據三角形內角和等于180°求出∠BEC的度數；
②先根據三角形內角和等于180°求出∠FBC+∠BCF的度數，再根據角平分線的定義得到∠EBC+∠ECB的度數，再根據三角形內角和等于180°求出∠BEC的度數.

（1）∵四邊形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°，

∴∠B+∠C=360°-（145°+75°）=140°，

∵∠B=∠C，

∴∠C=70°；

（2）∵BE∥AD，

∴∠ABE=180°-∠A=180°-145°=35°，

∵∠ABC的角平分線BE交DC于點E，

∴∠ABC=70°，

∴∠C=360°-（145°+75°+70°）=70°；

（3）①∵四邊形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°，

∴∠B+∠C=360°-（145°+75°）=140°，

∵∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，

∴∠EBC+∠ECB=70°，

∴∠BEC=180°-70°=110°；

②不變．

∵∠F=40°，

∴∠FBC+∠BCF=180°-40°=140°，

∵∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，

∴∠EBC+∠ECB=70°，

∴∠BEC=180°-70°=110°．