Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數（x＞0）與正比例函數y=kx、 （k＞1）的圖象分別交于點A、B，若∠AOB＝45°，則△AOB的面積是________.

Answer 1

【答案】2

【解析】作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB（如圖），設A（x1，y1），B（x2 ， y2），根據反比例函數k的幾何意義得x1y1=x2y2=2；將反比例函數分別與y=kx，y=聯立，解得x1=，x2=，從而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根據SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性質得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定義和已知條件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根據AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根據三角形面積公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.

如圖：作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB，

設A（x1，y1），B（x2 ， y2），

∵A、B在反比例函數上，

∴x1y1=x2y2=2，

∵，

解得：x1=，

又∵，

解得：x2=，

∴x1x2=×=2，

∴y1=x2， y2=x1，

即OC=OD，AC=BD，

∵BD⊥x軸，AC⊥y軸，

∴∠ACO=∠BDO=90°，

∴△ACO≌△BDO（SAS），

∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，

又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，

∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，

∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，

∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，

故答案為：2.