Question

【題目】已知，如圖(1)， 為⊙的割線，直線與⊙有公共點, 且,

（1）求證： ; 直線是⊙的切線；

（2）如圖（2） , 作弦，使 連接AD、BC,若，求⊙的半徑；

（3）如圖（3），若⊙的半徑為，,,,⊙上是否存在一點 , 使得有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析； 證明見解析； (2) R=；（3）最小值為

【解析】試題分析：（1）根據已知條件得到，推出△PCA∽△PBC，根據相似三角形的性質得到∠PCA=∠PBC，作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P過直徑的一端點C，于是得到結論；

（2）作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到，根據勾股定理得到BE=2，于是得到結論；

（3）取OM中點G，連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q，連接QO、QM，得到OG=OM=1，根據相似三角形的性質得到，求得QG=QM，根據兩點之間線段最短，即可得到結論．

試題解析：（1）①證明：∵PC2=PA×PB，

∴，

∵∠CPA=∠BPC，

∴△PCA∽△PBC，

∴∠PCA=∠PBC，

②作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，

∴∠F+∠FCA=90°，

∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，

∴∠PCA+∠FCA=90°，

∵PC經過直徑的一端點C，

∴直線PC是⊙O的切線；

（2）作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，

∵CD⊥AB，

∴AE∥CD，

∴，

∴AD=CE=2，

∵BC=6，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：

BE2=CE2+BC2=22+62=40，

∴BE=2，

∴R=；

（3）取OM中點G，連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q，連接QO、QM，

∵MO=2，

∴OG=OM=1，

∵⊙O的半徑r=OQ=，

∴OQ2=OGOM，

∵∠MOQ=∠QOG，

∴△MOQ∽△QOG，

∴，

∴QG=QM，

∴PQ+QM=PQ+QG=PG，

根據兩點之間線段最短，

此時PQ+QM=PQ+QG=PG最小，

∴PQ+QM最小值為PG=．