Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P是弦BC上一動點（不與端點重合），過點P作PE⊥AB于點E，延長EP交于點F，交過點C的切線于點D．

（1）求證：△DCP是等腰三角形；

（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．

①當OE＝EB時，求DC的長；

②當的長為多少時，以點B，O，C，F為頂點的四邊形是菱形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①4②當的長為2π時，以點B，O，C，F為頂點的四邊形是菱形

【解析】

（1）連接OC，如圖1，利用切線的性質得∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°，然后證明∠DPC=∠BCD得到DP=DC，可得結論；

（2）①如圖1，連接AC，先計算BC和PB的長，可得PC的長，再證明△PCD為等邊三角形，則②先證明△OAC為等邊三角形得到∠BOC=120°，連接OF，AC，再利用F是弧BC的中點得到∠BOF=∠COF=60°，則△AOF與△COF均為等邊三角形，從而得到AF=AO=OC=CF，于是可判斷四邊形OACF為菱形，根據弧長公式可得的長.

（1）證明：連接OC，如圖1，

∵CD為⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD＝90°，

即∠OCB+∠BCD＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵PE⊥AB，

∴∠B+∠BPE＝90°，

而∠BPE＝∠DPC，

∴∠OCB+∠DPC＝90°，

∴∠DPC＝∠BCD，

∴DC＝DP，

∴△DCP是等腰三角形；

（2）解：①如圖1，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，AB＝2AO＝12，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴AC＝AB＝6，

BC＝6，

Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，

∴PE＝，PB＝2，

∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，

∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，

∴△PCD為等邊三角形，

∴CD＝PC＝4；

②當F是弧BC的中點，即弧FB所對的圓周角為60°時，此時的長：＝2π，以點B，O，C，F為頂點的四邊形是菱形；

理由如下：如圖2，連接OF，AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CBA＝30°，

∴∠A＝60°，

∴△OAC為等邊三角形，

∴∠BOC＝120°，

當F是弧BC的中點時，∠BOF＝∠COF＝60°，

∴△AOF與△COF均為等邊三角形，

∴OB＝OC＝CF＝BF，

∴四邊形OCFB為菱形，

則當的長為2π時，以點B，O，C，F為頂點的四邊形是菱形．