Question

如圖，在半徑為1的⊙O中，AB為直徑，C為弧AB的中點，D為弧CB的三等分點，且弧DB的長等于弧CD長的兩倍，連接AD并延長交⊙O的切線CE于點E（C為切點），則AE的長為

 

．

Answer 1

分析：連接OC，過A作AM⊥EC于M，由CE是圓O的切線，推出AM∥OC，由C為弧AB的中點，得到AB=AC，進一步推出MA⊥AB，得到矩形AMCO，推出AM=1，由D為弧CB的三等分點，求出∠MAE和∠AEM的度數，根據含30°角的直角三角形的性質即可得出答案．

解答：解：連接OC，過A作AM⊥EC于M，
∵CE是圓O的切線，
∴OC⊥CE，
∵AM⊥EC，
∴AM∥OC，
∵C為弧AB的中點，
∴∠A=∠B=45°，AC=BC，
∵OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴MA⊥AB，
∴四邊形AMCO是矩形，
∴AM=OC=1，
∵D為弧CB的三等分點，
∴∠CAD=

1

3

×45°=15°，
∵MA⊥AB，OA為半徑，
∴AM為圓O的切線，
∴∠MAC=∠B=45°，
∴∠MAD=15°+45°=60°，
∴∠AEM=180°-60°-90°=30°，
∴AE=2AM=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了切線的性質，含30°角的直角三角形，圓心角、弧、弦之間的關系，矩形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，綜合運用這些性質進行證明是解此題的關鍵．題型較好，綜合性比較強．