Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（﹣1，0），B（0，3），O（0，0），將此三角板繞原點O順時針旋轉90°，得到△A′B′O．

⑴如圖，一拋物線經過點A，B，B′，求該拋物線解析式；

⑵設點P是在第一象限內拋物線上一動點，求使四邊形PBAB′的面積達到最大時點P的坐標及面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（，）；S最大=.

【解析】

（1）利用旋轉的性質得出A′（-0，1），B′（3，0），再利用待定系數法求二次函數解析式即可；（2）設P點坐標為（m，n），連接OP、PB、PB′，結合（1）中求出的關系式，根據四邊形PBAB′的面積=S△ABO+S△POB+S△POB′即可得到答案.

（1）△A′B′O是由△ABO繞原點O旋轉90°得到的，

∴B′（3，0）．

設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0）,

∵拋物線經過點A（-1，0）、B′（3，0）、B（0，3），

∴ ，

解得：a=-1；b=2；c=3；

∴滿足條件的拋物線的解析式為y=-x2+2x+3．

（2）設P點坐標為（m，n），連接OP、PB、PB′，

∵P在拋物線y=-x2+2x+3上，

∴n=-m2+2m+3，

∵四邊形PBAB′的面積=S△ABO+S△POB+S△POB′

∴S四邊形PBAB′= OAOB+ OBm+ OB′n

=+m+（-m2+2m+3）

=-（m-）2+

∴當m=時，S四邊形PBAB′有最大值，

∵m=時，n=，

∴P點坐標為（，）.