Question

【題目】矩形ABCD的邊AB＝4，邊AD上有一點M，連接BM，將MB繞M點逆時針旋轉90°得MN，N恰好落在CD上，過M、D、N作⊙O，⊙O與BC相切，Q為⊙O上的動點，連BQ，P為BQ中點，連AP，則AP的最小值為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

設⊙O與BC的交點為F，連接OB、OF，如圖1所示．根據旋轉的性質得到MN⊥BM，推出△BMN為等腰直角三角形，由全等三角形的性質得到DM=AB=4，DN=AM，設DN=2a，則AM=2a，OF=4-a，根據勾股定理即可求得⊙O半徑，延長BA，使AH=AB=4，連接HQ，OH，過O作OG⊥AB于G，根據三角形中位線的定理得到AP=HQ，HQ∥AP，當HQ取最小值時，AP有最小值，當點Q在HO時，HQ的值最小，根據勾股定理可求得OH，于是可得到結論．

設⊙O與BC的交點為F，連接OB、OF，作OR⊥DC于R，如圖所示．

∵△MDN為直角三角形，

∴MN為⊙O的直徑，

∵將MB繞M點逆時針旋轉90°得MN，

∴MN⊥BM，MB=MN，

∴△BMN為等腰直角三角形，

∵∠AMB+∠NMD=180°﹣∠BMN=90°，∠MBA+∠AMB=90°，

∴∠NMD=∠MBA，且BM=NP，∠A=∠NMD=90°，

∴△ABM≌△DMN(AAS)，

∴DM=AB=4，DN=AM，

設DN=2a，則AM=2a，OF=4﹣a，

∵OR⊥DC于R，

∴DR=RN=，

∵OR⊥DC，OF⊥BC，∠C=90°，

∴四邊形ORCF為矩形，

∴，

BM=，

∵BM=MN=2OF，

∴=，

解得：，

∴，=，

∴⊙O半徑為，

如圖2，延長BA，使AH=AB=4，連接HQ，OH，過O作OG⊥AB于G，

∵AB=AH，BP=PQ，

∴AP=HQ，HQ∥AP，

∴當HQ取最小值時，AP有最小值，

∴當點Q在HO時，HQ的值最小，

∵，，

∴，

∴HQ的最小值=，

∴AP的最小值為，

故答案為：．