Question

【題目】如圖AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，BP與⊙O相交于點(diǎn)D，C為⊙O上的一點(diǎn)，分別連接CB、CD，∠BCD＝60°．

(1)求∠ABD的度數(shù)；

(2)若AB＝6，求PD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=30°；（2）PD=．

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得：∠ADB=90°，由同弧所對(duì)的圓周角相等和直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）如圖1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAP=90°，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)可計(jì)算AD的長(zhǎng)，由勾股定理計(jì)算DB的長(zhǎng)，由三角函數(shù)可得PB的長(zhǎng)，從而得PD的長(zhǎng)．

（1）如圖，連接AD．

∵BA是⊙O直徑，

∴∠BDA=90°．

∵，

∴∠BAD=∠C=60°．

∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．

（2）如圖，∵AP是⊙O的切線，

∴∠BAP=90°．

在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，

∴DA=BA=×6=3．

∴BD=DA=3．

在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，

∴cos30°=．

∴BP=4．

∴PD=BP-BD=4-3=．