Question

【題目】已知：拋物線y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）與x軸交于點AB（點A在點B的左側）．

（1）不論a取何值，拋物線總經過第三象限內的一個定點C，請直接寫出點C的坐標；

（2）如圖，當AC⊥BC時，求a的值和AB的長；

（3）在（2）的條件下，若點P為拋物線在第四象限內的一個動點，點P的橫坐標為h，過點P作PH⊥x軸于點H，交BC于點D，作PE∥AC交BC于點E，設△ADE的面積為S，請求出S與h的函數關系式，并求出S取得最大值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）第三象限內的一個定點C為（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，當h＝時，S的最大值為，此時點P（，﹣ ）．

【解析】

（1）對拋物線解析式進行變形，使a的系數為0，解出x的值，即可確定點C的坐標；

（2）設函數對稱軸與x軸交點為M，根據拋物線的對稱軸可求出M的坐標，然后利用勾股定理求出CM的長度，再利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半求出AB的長度，則A,B兩點的坐標可求，再將A,B兩點代入解析式中即可求出a的值；

（3）過點E作EF⊥PH于點F，先用待定系數法求出直線BC的解析式，然后將P,D的坐標用含h的代數式表示出來，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解

（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，

令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，

故第三象限內的一個定點C為（﹣1，﹣3）；

（2）函數的對稱軸為：x＝，

設函數對稱軸與x軸交點為M，則其坐標為：（，0），

則由勾股定理得CM＝，

則AB＝2CM＝ ，

∴

則點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）、（，0）；

將點A的坐標代入函數表達式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，

解得：a＝ ，

函數的表達式為：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣ ；

（3）過點E作EF⊥PH于點F，

設：∠ABC＝α，則∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，

設直線BC的解析式為

將點B、C坐標代入一次函數表達式

得 解得：

∴直線BC的表達式為：，

設點P（h，），則點D（h，），

故tan∠ABC＝tanα＝ ，則sinα＝ ，

yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinαsinα，

S＝S△ABE﹣S△ABD

＝×AB×（yD﹣yE）

＝

∵﹣＜0，

∴S有最大值，當h＝ 時，S的最大值為：，此時點P（）．