Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，P是AD上一動點，O為BD的中點，連接PO并延長，交BC于點Q.

(1) 求證：四邊形PBQD是平行四邊形

(2) 若AD=6cm,AB=4cm, 點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動（不與點D重合），設點P運動時間為t s , 請用含t的代數式表示PD的長，并求出當t為何值時，四邊形PBQD是菱形。并求出此時菱形的周長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】(1) ∵四邊形ABCD是矩形

∴AD ∥BC

∴∠PDO=∠QBO （1分）

∵O是BD的中點，∴OB=OD

∵∠POD=∠QOB

∴△POD≌△QOB （2分）

∴ OP=OQ ∴四邊形PBQD是平行四邊形 （2分）

(2)依題意得，AP=tcm, 則PD=(6-t) cm （1分）

當四邊形PBQD是菱形時，有PB=PD=(6-t) cm （1分）

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠A=90°

在Rt△ABP中， AB=4

∴解得 （3分）

所以運動的時間為時，四邊形PBQD是菱形。（1分）

∴此時菱形的周長為（cm）