Question

如圖，現有一橫截面是一拋物線的水渠．一次，水渠管理員將一根長1.5m的標桿一端放在水渠底部的A點，另一端露出水面并靠在水渠邊緣的B點，發現標桿有1m浸沒在水中，露出水面部分的標桿與水面成30°的夾角（標桿與拋物線的橫截面在同一平面內）．
（1）以水面所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，求該水渠橫截面拋物線的解析式（結果保留根號）；
（2）在（1）的條件下，求當水面再上升0.3m時的水面寬約為多少（

5

取2.2，結果精確到0.1m）．

Answer 1

分析：（1）根據所建坐標系，設解析式為頂點式．因此需求頂點A的坐標和點B的坐標．設AB與x軸交于C點，可知AC=1m，BC=0.5m．作BD⊥x軸于點D．通過解Rt△AOC和Rt△BCD求點A、B的坐標．
（2）運用函數性質結合解方程求解．

解答：解：（1）設AB與x軸交于C點，可知AC=1m，BC=0.5m．
作BD⊥x軸于點D．
則OA=0.5m，OC=

3

2

m，
BD=

1

4

m，CD=

3

4

m，
故A（0，-

1

2

）；
B（

3 3

4

，

1

4

）．
設拋物線的解析式為y=ax²-

1

2

．
將點B的坐標代入得a=

4

9

，
因而y=

4

9

x²-

1

2

．

（2）當水面上升0.3m時，
此時y=0.3，代入可得

4

9

x2-

1

2

=0.3，
解得x=±

3 5

5

．
故此時水面寬為

6 5

5

m，約為2.6m．

點評：將實際問題轉化為數學題體現了數學建模的思想，是解決實際問題的常用有效手段．如何建模需認真斟酌．