Question

【題目】（問題發現）

（1）如圖1所示，在中，，，點為上一點，作，交于點，則________；

（類比研究）

（2）將繞點順時針旋轉到圖2所示位置，此時（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；

（拓展延伸）

（3）若點為邊中點，在繞點旋轉的過程中，當、、三點共線時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）成立；理由見詳解；（3）BD的長為或.

【解析】

（1）根據ED∥AB，得出，結合三角函數的定義計算sin30°即可；

（2）根據在Rt△BAC和Rt△DEC中，BC=2AC，DC=2EC，由旋轉性質推出△BDC∽△AEC即可得出結論成立；

（3）當B、D、E三點共線時，由旋轉性質構圖如下，分兩種情況討論：

①旋轉至圖②中△CED的位置時，在Rt△BEC和Rt△DEC中，分別利用勾股定理計算BE、BD，然后求線段差即可；

②旋轉至圖②中△C的位置時，由切線長定理知BE=B，然后計算線段和即可．

（1）∵ED∥AB，∠B=30°，AC=2，∠A=90°，

∴，

∴，

故答案為：2；

（2）成立．理由如下：

∵∠ABC=30°，∠EDC=30°，

∴在Rt△BAC和Rt△DEC中，BC=2AC，DC=2EC，

由旋轉性質知，∠BCD=∠ACE，

∴△BDC∽△AEC，

∴，

故答案為：成立；

（3）當B、D、E三點共線時，由旋轉性質構圖如下，分兩種情況

①旋轉至圖②中△CED的位置時，在Rt△ABC中，BC=2AC=4，

∵點E為AC中點，

∴CE=1，

∴在Rt△BEC中，BE=，

∵在Rt△DEC中，EC=1，∠EDC=30°，

∴DE=，

∴BD=；

②旋轉至圖②中△C的位置時，由切線長定理知BE=B=，

∴由①知，B，

綜上所述，BD的長為或，

故答案為：；．