Question

【題目】如圖，以x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A，點B（﹣1，0），與y軸交于點C（0，4），作直線AC．

（1）求拋物線解析式；

（2）點P在拋物線的對稱軸上，且到直線AC和x軸的距離相等，設點P的縱坐標為m，求m的值；

（3）點M在y軸上且位于點C上方，點N在直線AC上，點Q為第一象限內拋物線上一點，若以點C、M、N、Q為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的值為1或﹣4；（3）點Q的坐標為（1，）或（， ）．

【解析】

（1）先利用拋物線的對稱性得到A（3，0），則可設交點式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C點坐標代入求出a即可；

（2）先利用待定系數法其出直線AC的解析式為y=﹣x+4；令對稱軸與直線AC交于點D，與x軸交于點E，作PH⊥AD于H，如圖1，易得D（1，），利用勾股定理計算出AD=，設P（1，m），則PD=﹣m，PH=PE=|m|，證明△DPH∽△DAE，利用相似比得到，然后解方程可得到m的值；

（3）設Q（t，﹣x2+x+4）（0＜t＜4），討論：當CM為對角線時，四邊形CQMN為菱形，如圖2，根據菱形的性質判定點N和Q關于y軸對稱，則N（﹣t，﹣x2+x+4），然后把N（﹣t，﹣x2+x+4）代入y=﹣x+4得t的方程，從而解方程求出t得到此時Q點坐標；當CM為菱形的邊時，四邊形CNQM為菱形，如圖3，利用菱形的性質得NQ∥y軸，NQ=NC，則N（t，﹣t+4），所以NQ=﹣t2+4t，再根據兩點間的距離公式計算出CN=t，所以﹣t2+4t=t，從而解方程求出t得到此時Q點坐標．

解：（1）∵點A與點B（﹣1，0）關于直線x=1對稱，

∴A（3，0），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，4）代入得a1（﹣3）=4，解得a=﹣，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+4；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+p，

把A（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4；

令對稱軸與直線AC交于點D，與x軸交于點E，作PH⊥AD于H，如圖1，

當x=1時，y=﹣x+4=，則D（1，），

∴DE=，

在Rt△ADE中，AD==，

設P（1，m），則PD=﹣m，PH=PE=|m|，

∵∠PDH=∠ADE，

∴△DPH∽△DAE，

∴，即，解得m=1或m=﹣4，

即m的值為1或﹣4；

（3）設Q（t，﹣t2+t+4）（0＜t＜4），

當CM為對角線時，四邊形CQMN為菱形，如圖2，則點N和Q關于y軸對稱，

∴N（﹣t，﹣ t2+t+4），

把N（﹣t，﹣t2+t+4）代入y=﹣x+4得t+4=﹣t2+t+4，解得t1=0（舍去），t2=1，此時Q點坐標為（1，）；

當CM為菱形的邊時，四邊形CNQM為菱形，如圖3，則NQ∥y軸，NQ=NC，

∴N（t，﹣t+4），

∴NQ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，

而CN2=t2+（﹣t+4﹣4）2=t2，即CN=t，

∴﹣t2+4t=t，解得t1=0（舍去），t2=，此時Q點坐標為（，），

綜上所述，點Q的坐標為（1，）或（，）．